martes, 7 de mayo de 2013

Probabilidad condicional y distribución de variables aleatorias discretas.


Probabilidad condicional y distribución de variables aleatorias discretas


  • Probabilidad condicional.
Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y BA puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Dado un espacio de probabilidad (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) y dos eventos (o sucesos) A, B\in \mathcal F con P(B)>0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.
Propiedades:
    1. P(A \mid B) + P(\bar{A} \mid B) = 1
    2.  B \subseteq A \to P(A \mid B) = 1
    3. P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid \bar{B}) \cdot P(\bar{B})

Variable aleatoria discreta:
Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87.

Ejercicios:


1.Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:
P(enfermo) = 1% = 0.01  y P(sano) = 99% = 0.99
2-Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:
P(positivo|sano) = 1%  y P(negativo|sano) = 99%
3.Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:
P(negativo|enfermo) = 1% y P(positivo|enfermo) = 99%

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:
4.La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

P( sano \cap negativo) = P(sano) \times P(negativo|sano)=99% \times 99%=98.01%

5.La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

P( enfermo \cap positivo) = P(enfermo) \times P(positivo|enfermo) = 1% \times 99% = 0.99%

6.La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

P( sano \cap positivo) = P(sano) \times P(positivo|sano) = 99% \times 1% = 0.99%

6.La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

P( enfermo \cap negativo) = P(enfermo) \times P(negativo|enfermo) = 1% \times 1% = 0.01%

7.Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

P( positivo ) = P ( sano \cap positivo ) + P ( enfermo \cap positivo ) = 0.99% + 0.99% = 1.98%

8.Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:
P(enfermo|positivo) = \frac{P(enfermo \cap positivo)}{P(positivo)}=\frac{0.99%}{1.98%}=50%
En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.


9.La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: P(enfermo) = 0,001
10.La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: P(positivo|enfermo) = 0,99
11.La probabilidad de falso positivo es de 0,05: P(positivo|sano) = 0,05


Términos básicos de la teoría de conjuntos

  • Teoría de conjuntos 

Es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto Ase indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.


  • Operaciones con conjuntos
Unión
La  unión de los conjuntos  A y  B es el conjunto de todos los elementos de  A con todos los  elementos de  B sin repetir ninguno y se denota como  A∪ B . Esto es:
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Intersección

La  intersección de los conjuntos  A y  B es el conjunto de los elementos de  A que también  pertenecen a  B y se denota como  A∩ B . Esto es:
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Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersección es el conjunto vacío, es decir, que no tienen  nada en común. Por ejemplo:
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Complemento

El complemento del conjunto  A con respecto al conjunto universal  U es el conjunto de todos los  elementos de U que no están en  A y se denota como  'A . Esto es:
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Diferencia

La  diferencia de los conjuntos  A y  B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a  A y no pertenecen a  B y se denota como  A− B . Esto es:
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  • Conceptos básicos de probabilidad 
  1. Experimento: Es el proceso mediante ek cual se obtiene una observación.
  2. Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
  3. Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
  4. Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
  5. Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
  6. Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .
  7. Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
  8. Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
  9. Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.



  • Técnicas de conteo
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de nmaneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento Bpuede nmaneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  nx n2.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.



 N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas


PRINCIPIO ADITIVO

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas


PRINCIPIO DE PERMUTACIÓN:


A diferencia de la formula de la multiplicación, se la utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
                                               
 
                                              FÓRMULA: n P r = n! (n - r)



Donde: n= número total de objetos r= número de objetos seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.

NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas cifras en numerador y denominador. !



PRINCIPIO DE COMBINACIÓN:

En una permutación, el orden de los objetos de cada posible resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno de estos resultados se denomina combinación. 
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC



Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:


                                                          n C r = n!                          r! (n – r)!

  • Permutaciones y Combinaciones

Permutación:
Una permutación de objetos es un arreglo de éstos en el que orden sí importa.  Para encontrar el número de permutaciones de n objetos diferentes en grupos de r, se usan las siguientes fórmulas:
Cuando no se permite repetición

Cuando se permita repetición

Combinación:
Una combinación de objetos es un arreglo de éstos en el que el orden no importa. Para encontrar el número de combinaciones de n objetos en grupos de r, se usa la siguiente fórmula:


Ejercicios:

Operaciones de conjuntos:
  1. P(A  B) = P(A) + P(B). Se extrae una carta al azar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son mutuamente excluyentes, A  B =  y entonces 
     P(A ó B) = P(A  B) = P(A) + P(B)
    = P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.
  2. P(A) + P(Ac) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(Ac): 
     P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13
  3. P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen itersección no vacía: A  B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B es 
     P(A o B) = P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A B)
    = 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6
  4. P(A  B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es 
     P(A y B) = P(A  B) = P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6)
    = 1/12
  5. P(A  B) = P(A)•P(B/A). ó P(B/A) = P(A  B)/ P(A) [P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracción de una carta de un mazo inglés normal: ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones? 
    Debemos calcular P(as/corazón). La probabilidad de "as y corazón" es 1/52. La probabilidad de corazón es 13/52.
    Luego, P(as/corazón) = P(as y corazón)/P(corazón) = (1/52)/(13/52) = 1/13.

Técnicas de conteo

1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman 
todos a la vez? 
R: Permutaciones. 5
P5 = 5! = 120
2. De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una 
exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer. 
R: Combinaciones 11C4 = 330 
3. Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede 
realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado? 
R: Recorrido implica orden. 15P6 = 3603600 
4. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales? 
R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es 
combinación. 7
C3 = 35. 
5. Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes 
carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer? 
R: No importa el orden de selección. 8
C5 = 56 
6. Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa. 
a. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin 
diferenciar el color? 
R: 12C5 = 792 
b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado 
final tres dulces de menta y dos de fresa? 
R: (8C3) (4C2) = (56)(6) =336 
c. Considerando los resultados de a. y b., ¿cuál es la probabilidad de que al sacar 
cinco dulces al azar se obtengan tres de menta y dos de fresa? 
P(Tres de Menta y dos de fresa) = 336/792 = 0.4242 
7. Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan. 
a. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas 
funcionen? 
(7C3) = 35
b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres 
funcionen? 
P(tres funcionen) = (7C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917 
c. ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres baterías al azar y obtener solamente 
una sin funcionar? 
(3C1) (7C2) = (21)(3)= 63
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin 
funcionar? 
P(Sólo una no funcione) =(3C1) (7C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203

Combinaciones:


1. En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos.

No importa el orden: Juan, Ana.

No se repiten los elementos.


2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.


3. A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.


4. En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

No entran todos los elementos. Sólo elije 4..

No importa el orden. Da igual que elija 2 botellas de anís y 2 de ron, que 2 de ron y 2 de anís.

Sí se repiten los elementos. Puede elegir más de una botella del mismo tipo.


5. ¿Cuántas apuestas de Lotería Primitiva de una columna han de rellenarse para asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.


6. ¿Cuántas diagonales tiene un pentágono y cuántos triángulos se puede informar con sus vértices?

Vamos a determinar en primer lugar las rectas que se pueden trazar entre 2 vértices.

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.

Son , a las que tenemos que restar los lados que determinan 5 rectas que no son diagonales.



7. Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:

1. Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer.


2. Una mujer determinada debe pertenecer al comité.


3. Dos hombres determinados no pueden estar en el comité.


8. Una persona tiene cinco monedas de distintos valores. ¿Cuántas sumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas?




Permutaciones:

1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5.?

m = 5 n = 5

Sí entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.


2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.


3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?


4. Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.


5. Con las letras de la palabra libro, ¿cuántas ordenaciones distintas se pueden hacer que empiecen por vocal?

La palabra empieza por i u o seguida de las 4 letras restantes tomadas de 4 en 4.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.


6. ¿Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden formar con las cifras impares? ¿Cuántos de ellos son mayores de 70.000?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.


Si es impar sólo puede empezar por 7 u 8


7. En el palo de señales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. ¿Cuántas señales distintas pueden indicarse con la colocación de las nueve banderas?

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.


8. ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición distinta que la portería?

Disponemos de 10 jugadores que pueden ocupar 10 posiciones distintas.

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.


9. Una mesa presidencial está formada por ocho personas, ¿de cuántas formas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos?

Se forman dos grupos el primero de 2 personas y el segundo de 7 personas, en los dos se cumple que:

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

No se repiten los elementos.


10. Cuatro libros distintos de matemáticas, seis diferentes de física y dos diferentes de química se colocan en un estante. De cuántas formas distintas es posible ordenarlos si:

1. Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos.



2.Solamente los libros de matemáticas deben estar juntos.



11. Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?