martes, 7 de mayo de 2013

Probabilidad condicional y distribución de variables aleatorias discretas.


Probabilidad condicional y distribución de variables aleatorias discretas


  • Probabilidad condicional.
Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y BA puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Dado un espacio de probabilidad (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) y dos eventos (o sucesos) A, B\in \mathcal F con P(B)>0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:
P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.
Propiedades:
    1. P(A \mid B) + P(\bar{A} \mid B) = 1
    2.  B \subseteq A \to P(A \mid B) = 1
    3. P(A) = P(A \mid B) \cdot P(B) + P(A \mid \bar{B}) \cdot P(\bar{B})

Variable aleatoria discreta:
Se denomina variable aleatoria discreta aquella que sólo puede tomar un número finito de valores dentro de un intervalo. Por ejemplo, el número de componentes de una manada de lobos, pude ser 4 ó 5 ó 6 individuos pero nunca 5,75 ó 5,87.

Ejercicios:


1.Supongamos un grupo de personas de las que el 1 % sufre una cierta enfermedad, y el resto está bien. Escogiendo un individuo al azar:
P(enfermo) = 1% = 0.01  y P(sano) = 99% = 0.99
2-Supongamos que aplicando una prueba a una persona que no tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de conseguir un falso positivo, esto es:
P(positivo|sano) = 1%  y P(negativo|sano) = 99%
3.Finalmente, supongamos que aplicando la prueba a una persona que tiene la enfermedad, hay una posibilidad del 1 % de un falso negativo, esto es:
P(negativo|enfermo) = 1% y P(positivo|enfermo) = 99%

Ahora, uno puede calcular lo siguiente:
4.La fracción de individuos en el grupo que están sanos y dan negativo:

P( sano \cap negativo) = P(sano) \times P(negativo|sano)=99% \times 99%=98.01%

5.La fracción de individuos en el grupo que están enfermos y dan positivo:

P( enfermo \cap positivo) = P(enfermo) \times P(positivo|enfermo) = 1% \times 99% = 0.99%

6.La fracción de individuos en el grupo que dan falso positivo:

P( sano \cap positivo) = P(sano) \times P(positivo|sano) = 99% \times 1% = 0.99%

6.La fracción de individuos en el grupo que dan falso negativo:

P( enfermo \cap negativo) = P(enfermo) \times P(negativo|enfermo) = 1% \times 1% = 0.01%

7.Además, la fracción de individuos en el grupo que dan positivo:

P( positivo ) = P ( sano \cap positivo ) + P ( enfermo \cap positivo ) = 0.99% + 0.99% = 1.98%

8.Finalmente, la probabilidad de que un individuo realmente tenga la enfermedad, dado un resultado de la prueba positivo:
P(enfermo|positivo) = \frac{P(enfermo \cap positivo)}{P(positivo)}=\frac{0.99%}{1.98%}=50%
En este ejemplo, debería ser fácil ver la diferencia entre las probabilidades condicionadas P (positivo | enfermo) (que es del 99 %) y P (enfermo | positivo) (que es del 50 %): la primera es la probabilidad de que un individuo enfermo dé positivo en la prueba; la segunda es la probabilidad de que un individuo que da positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad. Con los números escogidos aquí, este último resultado probablemente sería considerado inaceptable: la mitad de la gente que da positivo en realidad está sana.


9.La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: P(enfermo) = 0,001
10.La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: P(positivo|enfermo) = 0,99
11.La probabilidad de falso positivo es de 0,05: P(positivo|sano) = 0,05

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