PROBABILIDAD Y ESTADISTICA: PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Probabilidad simple y conjunta

Probabilidad simple

Es la probabilidad en la que ocurre un evento que tiene una sola característica.

Es cuando se analiza una sola característica.

Probabilidad conjunta

Es la probabilidad de que ocurra un evento que cumpla al mismo tiempo, con dos o más características.

Es cuando se analiza dos o más características al mismo tiempo.

Suma de probabilidades

Se utiliza cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra el evento con la característica A, el evento con la característica B o ambos, se representa como P(A o B) = P(A È B).

Para eventos mutuamente excluyentes la regla es:

Para eventos que no son mutuamente excluyentes la regla es:

Probabilidad condicional

Es la probabilidad de que un segundo evento A ocurra, si el primer evento B ya ha ocurrido, se denota P(A / B) y se lee ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento A si ya ocurrió el evento B?

En este tipo de probabilidad, siempre se conocerá una característica y se va a calcular la probabilidad de que ocurra la otra característica. Además la característica conocida, determina la parte del espacio muestral que se va a utilizar como denominador.

Eventos mutuamente excluyentes:

Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas.

Eventos dependientes e independientes:

Eventos dependientes:

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

P(A|B) = P(A y B)/P(B) o P(B|A) = P(A y B)/P(A)

Eventos independientes:

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).

Ejercicios:

4.Tenemos un dado de 20 caras {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6}

perfectamente equilibrado ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada uno de los

resultados posibles}

P(1)=1/20=0,05 P(2)=2/20=0,1 P(3)=3/20=0,15

P(4)=4/20=0,2 P(5)=5/20=0,25 P(6)=5/20=0,25

5. Si lanzamos el dado anterior 1000 veces, ¿Cuántas veces se espera que salga cada

resultado aproximadamente?

El 1 saldrá alrededor de 50 veces. El 2, alrededor de 100. El 3 alrededor de 150, el 4

alrededor de 200, el 5 alrededor de 250 y el 6 alrededor de 250.

6. Para el dado {1,1,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5} de 20 caras calcula las

probabilidades siguientes:

a) P(par)= 8/20 =0,4 Hay tres 2 y cinco 4, 8 pares

b) P(mayor de 3)= 11/20=0,55 11 posibles entre 20

c) P(par y mayor de 3)=5/20=0,25 Solo el 4 es par y mayor de 3, y hay 5

d) P(par o mayor de 3)=14/20=0,7 Si sale 2, 4 ó 5

e) P(par menos mayor de 3)=3/20=0,15 Solo si sale 2

f) P(mayor de 3 menos par)=6/20=0,3 Si sale 5

g) P(no par)=12/20=0,6 Si sale 1, 3 ó 5

7. En una bolsa tenemos 7 bolas rojas, 9 bolas azules y 4 verdes. Extraemos una

bola, calcula la probabilidad de que

a) No sea roja P(no R)=13/20=0,65 Hay 20 bolas, 7 rojas, 13 no rojas

b) Sea verde P(V)=4/20=0,2 4 verdes

c) Sea roja o azul P(RUA)=16/20=0,8 7+9=16 rojas ó azules

8. En un grupo, el 40% juega baloncesto y el 60% fútbol,

sabiendo que el 85% practica alguno de los dos

deportes, ¿qué porcentaje juega a los dos?

9. En el grupo A hay 18 personas de las que 10 hablan inglés y 8 no; en el B hay 12

personas de las que 3 hablan ingles y 9 no; en el C hay 10 personas 3 que hablan

inglés y 7 que no. Se elige al azar una persona de cada grupo, calcula la

probabilidad de que de las tres, al menos una hable ingles.

En los siete sucesos de la derecha hay al menos una persona

que habla inglés, en vez de mirar sus probabilidades, es más

cómodo calcular la del contrario, que ninguno de los tres

hable inglés, para escoger al del A cuento con 8 personas

que no hablan inglés, para el del B con 9 y para el del C con 7,

así los casos favorables de que ninguno hable inglés son 8·9·7

y los casos posibles 18·12·10

P(al menos uno hable inglés)=

=1-P(ninguno habla inglés)=

=1-8·9·7/18·12·10=1-7/30=23/30

Lanzamos un dado de 4 caras {1,2,3,4} y otro de 10 {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. Cuál

es la probabilidad de obtener dos tres. ¿Y dos cuatros?

P(3 y 3) = 1/4 · 3/10 = 3/40 = 0.075

P(4 y 4) = 1/4 · 4/10 = 4/40 = 0.1

11. En una bolsa tenemos 5 bolas numeradas del 1 al 5. Extraemos dos bolas,

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 y un 3 si no devolvemos las bolas

sacadas? b) ¿y cuál si las devolvemos?

Sin devolución P = 1/5 · 1/4 = 0.05

Con devolución P = 1/5 · 1/5 = 1/25 = 0.04

12. Al tirar dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 10 puntos?.

Se obtienen 10 o más puntos en 46 64 55 56 65 y 66.

Son 6 casos, cada uno de ellos con probabilidad 1/6 · 1/6 = 1/36.

P(al menos 10 puntos) = 6 · 1/36 = 1/6

O bien, hay seis casos favorables de entre los 36 posibles, P = 6/36 = 1/6

13. Tiramos una moneda trucada en la que P(C)=0,6 y P(X)=0,4. Si sale cara tiramos

un dado {1,2,3,4} de 4 caras y si sale cruz uno {1,2,3,4,5,6} de seis. ¿Tenemos la

misma probabilidad de que salga 1 después de que salga cara o cruz?. ¿Cuánto

vale en cada caso?. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 1?

No, P(C1)=0,6 · 1/4 = 3/20 P(X1) = 0,4 · 1/6 = 2/30

P(1) = P(C1) + P(X1) = 3/20 + 2/30 = 13/60

14. Tenemos un dado {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2} de 10 caras. Si

sacamos un 1 tiramos una moneda, y dos si sacamos

un 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara?

15. Tenemos un dado {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2} de 10 caras. Tiramos el dado, si sale 1

sacamos una bola de {RRNNN} y si sacamos un 2 sacamos una de {RRRRN}.

Salió N, ¿Cuál es la probabilidad de que fuera con un 1 del dado?

16. La probabilidad de acertar en amarillo en la diana de la figura es 0,3, en verde 0,4

y en naranja 0,3. Además si se acierta en amarillo la probabilidad de que sea en

brillo es 0,7; la probabilidad de brillo en verde es 0,6 y en naranja 0,3.

a) ¿Cuál es la probabilidad de acertar en la zona brillante?

P(Brillo)=P(A)·P(Brillo/A)+P(V)·(P(Brillo/V)+P(N)·P(Brillo/N)

P(Brillo)=0,3·0,7+0,4·0,6+0,3·0,5=0,21+0,24+0,15=0,60

b) Si se acertó en la zona brillante, ¿cuál es la probabilidad de que

fuese en amarillo.

P(A/Brillo)=P(A y Brillo)/P(Brillo)=0,3·0,7/0,60=0,21/0,60=0,35

1. Existen en el mercado varios tipos de dados, aunque el más normal sea el cúbico de seis caras. Los hay de 4, 6, 10, 12, y 20 caras. En general, van numerados del 1 al nº de caras que

tienen. Escribe el suceso “Par” para cada uno de ellos.

D4={2,4}, D6={2,4,6},
D10={2,4,6,8}, D12={2,4,6,8,10,12}
y D20={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}

2. Tenemos un dado de 4 caras numeradas del 1 al 4. Lo tiramos una vez. Escribe el suceso seguro, el imposible, y todos los posibles clasificados por su tamaño.

R:S imposible ={},{1}, {2}, {3}. {4},

{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3} {2,4},

{3,4}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,3,4},

{2,3,4}, S seguro = {1,2,3,4}

3. Tenemos un dado de 6 caras blanco, en el que se han escrito en sus caras los siguientes números {1,1,1,2,2,3}. Escribe todos los sucesos posibles.

{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3},
{2,3}, {1,2,3}

4. En la escuela municipal de un pueblo hay clases para deportes de equipo de baloncesto, fútbol y voleibol. Hay 100 inscritos en deportes de equipo, 70 van a clases de fútbol, 60 de baloncesto y 40 a fútbol y baloncesto. ¿Cuántos van sólo a voleibol?

5. Determina el número de cartas, en una baraja española de 40, que:

a) Con numeración menor que 4.

b) De bastos y mayores que 4.

c) Figuras de oros o bastos.

a. 12 b. 6 c. 6

6. En una baraja española, cuenta las cartas de los sucesos :

a) Oros y sietes b) Oros o sietes

c) Siete de oros d) Figuras

e) Oros o figuras f) Oros y figuras

. a. 1 carta b. 13 c. 1 d. 12 e. 19 f. 3

7. Para un dado de seis caras {1,2,3,4,5,6}, escribe los sucesos:

a) Par

b) No par

c) Par y mayor que 3

d) Par o mayor que 3

e) Par menos mayor que 3

f) El contrario de (par y mayor que 3)

a. {2,4,6} b. {1,3,5} c. {4,6} d.
{2,4,5,6} e. {2} f. {1,2,3,5}

8. Tenemos un dado con los números {1,1,1,2}. Si lo lanzamos 100 veces, alrededor de que cantidad de veces saldrá cada uno de los posibles resultados.

Alrededor de 75 el 1 y 25 veces el 2

9. Tenemos un dado de diez caras numeradas como {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}. ¿Cuál es la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales?.

P(1)=0,1; P(2)=0,2; P(3)=0,3 y
P(4)=0,4

10. Tenemos una ruleta de 10 posiciones, 3 rojas, 4 verdes, 2 negras y una azul. ¿Cuál es la probabilidad de que al girarla se obtenga cada uno de los colores?

P(rojo)=0,3; P(verde)=0,4;
P(negro)=0,2 y P(azul)=0,1

11. Si lanzamos dos monedas podremos obtener uno de estos 4 resultados {OO, XO, OX, XX}. Puedes escribir de esta forma los posibles para tres monedas. Y para 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras en cada uno de los experimentos?

En 3, P(dos caras)=3/8

y en 4, P(dos caras)= 6/16=3/8

12. Sabiendo que P(A)=0.5 , p(B)=0.7 y P(2)=0.3, calcula P(1), P(3), P(4), P(5), P(6), P(7) y P(8),

P(1)=0,7; P(3)=0,2; P(4)=0,3;
P(5)=0,4; P(6)=0,1; P(7)=0,5 y
P(8)=0,9

13. ¿Cuál es la probabilidad de obtener naranja, verde, azul o gris en cada una de las siguientes ruletas?

Sol:
Ruleta Naranja Verde Azul Gris
1 0,3 0,25 0,15 0,3
2 0,4 0,3 0,15 0,15
3 0,1 0,2 0,1 0,6
4 0,35 0,3 0,15 0,2

14. Tenemos un dado de 10 caras de esta forma{1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2}. Y dos urnas, una A={R, R, R, V, V} y B={R, V, V, V, V}. Lanzamos el dado, si sale 1 extraemos una bola de A, y si sale 2 de B. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una roja de A? ¿Y una roja de B? ¿Y una

verde de A?.

P(RA)=0,4·0,6 =0,24, P(RB)=0,6·0,2=0,12
P(VA)=0,4·0,4=0,16

15. En una bolsa hay las siguientes bolas {1,2,2,3,3}. Extraemos primero una bola y la devolvemos para extraer otra. Calcula la probabilidades siguientes: P(1,1), P(1,2), P(1,3).

P(1,1)= 1/5 · 1/5 = 1/25,
P(1,2) = 1/5 · 2/5 = 2/25
P(1,3) = 1/5 · 2/5 = 2/25

16. Si para la segunda extracción del ejercicio anterior no devolvemos la 1º bola, ¿Cuál es el valor de las probabilidades ahora?

P(1,1) = 0, P(1,2) = 1/5 · 1/2 = 0,1
P(1,3) = 1/5 · 1/2 = 0,1

17. Calcula las probabilidades de obtener 2 oros al extraer dos cartas de una baraja española en los casos de devolver y de no devolver la 1º carta a la baraja antes de extraer la 2ª.

18. Tenemos un dado de 10 caras de la forma {1,1,1,1,2,2,2,2,2,2}, y dos urnas, una A={R,R,R,V,V} y otra B={R,V,V,V,V}. Lanzamos el dado, si sale 1 extraemos una bola de A, y si

sale 2 de B. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una R? ¿Y una V?.

Con devolución P(2 oros) = 1/4 · 1/4 = 1/16,
sin devolución P(2 oros) = 1/4 · 9/39

19. Tenemos una urna con bolas numeradas como se indica {1,1,2,2,2} y dos urnas I={R,V} y II={N,N,R,V}. Extraemos una bola para decidir de que urna escogemos otra. ¿Cuál es la probabilidad de obtener R ó N?

P(R) =P(1)·P(R/A)+P(2)·P(R/B)=
=0,4·0,6+0,6·0,2=0,36
P(Verde) = P(1)·P(V/A)+P(2)·P(V/B) =
0,4·0,4+0,6·0·0,8=0,64

20. Realizado el experimento del ejercicio anterior, resultó ser V. ¿Cuál es la probabilidad de que fuera extraída de la urna A? ¿Y de la B?

P(R ó N)= P(R) +P(N) =

(0,4·0,5+0,6·0,25)+(0+0,6·0,5

) = 0,65.

21. Se lanza dos monedas. Si salen dos caras se tira el dado {1,1,1,2,2,2} y si y si no el dado {1,1,2,2,3,3}. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1? ¿Cuándo sale uno con que probabilidad salió también dos caras?

P(A/V)= 0,2/0,35 = 0,57
P(B/V) = 0,15/0,35=0,43

22. Diez amigos organizan un viaje y elige el destino uno de ellos por sorteo. Seis quieren ir a la costa y cuatro al interior. De los primeros, dos quieren ir al norte y cuatro al sur. De los de interior, la mitad prefieren el norte y la otra mitad el sur.

a) Halla la probabilidad de ir a la costa del norte.

b) ¿Cuál es la probabilidad de ir al norte?

c) Si van al norte, ¿cuál es la probabilidad de que sea en la costa?

a) 0,2 b) 0,4 b) 0,5

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

martes, 7 de mayo de 2013